프랙탈과 시어핀스키 삼각형

수학의 세계는 무한히 흥미로운 도형들과 개념들로 가득 차 있어요. 오늘은 그중에서도 ‘프랙탈’과 ‘시어핀스키 삼각형’에 대해 알아보려고 합니다. 이들은 단순한 패턴의 반복을 통해 놀라운 구조를 만들어내죠. 여러분이 이 글을 통해 프랙탈과 시어핀스키 삼각형을 이해하고, 수학이 가진 창의성과 아름다움을 발견하는 시간이 되었으면 좋겠어요.

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목차

• 프랙탈이란
• 시어핀스키 삼각형
• 시어핀스키 삼각형 특성과 수학적 의미
• 시어핀스키 삼각형과 차원
• 시어핀스키 삼각형의 응용
• 마무리하며

 

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프랙탈이란

프랙탈(fractal)은 수학자 브누아 망델브로(Benoît Mandelbrot)가 1975년에 정의한 개념으로, 자기유사성(self-similarity)이라는 특징을 가지고 있어요. 자기유사성이란 작은 부분이 전체와 비슷한 형태를 갖는 성질을 말해요. 쉽게 말하면, 프랙탈은 도형의 작은 조각 하나가 전체 도형과 비슷한 모양을 가지는 구조를 가진다는 거죠.
자연 속에서 프랙탈은 아주 흔하게 볼 수 있어요. 나무의 가지, 번개, 산의 윤곽, 구름, 해안선 등에서 이런 형태를 찾을 수 있어요. 이러한 자연 속 패턴들은 작은 부분이 전체와 비슷한 모양을 가지고 있어서, 자세히 보아도 큰 틀에서 변하지 않아요. 이처럼 프랙탈은 단순한 반복을 통해 복잡한 구조를 만들어내며, 수학, 컴퓨터 그래픽, 과학 등 다양한 분야에서 활용되고 있답니다.

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시어핀스키 삼각형

시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Wacław Sierpiński)가 1915년에 처음 제안한 프랙탈 도형이에요. 시어핀스키 삼각형은 삼각형을 계속해서 반복하여 만들어지며, 자기유사성을 보여주는 좋은 예시입니다.

시어핀스키 삼각형을 만드는 방법은 다음과 같아요:

1. 먼저 큰 삼각형 하나를 그립니다.
2. 그 삼각형을 4개의 작은 삼각형으로 나눕니다. 여기서 가운데 있는 삼각형을 비워내요.
3. 비워낸 삼각형을 제외한 나머지 세 개의 삼각형에 대해 같은 과정을 반복합니다.
4. 이 과정을 무한히 반복할 수 있으며, 반복할수록 더 복잡한 삼각형 구조가 만들어집니다.

이렇게 만들어진 시어핀스키 삼각형은 가운데에 비어 있는 공간이 점점 많아지며, 전체 도형의 모양은 점점 더 복잡해지지만 자기유사성을 유지합니다. 모든 작은 삼각형이 전체 도형과 비슷한 모양을 하고 있기 때문에, 어디를 확대해도 같은 패턴이 반복되는 것을 볼 수 있어요.

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시어핀스키 삼각형의 특성과 수학적 의미

1) 무한의 개념
시어핀스키 삼각형은 끝없이 작은 삼각형을 만들 수 있어요. 삼각형을 무한히 나눌 수 있다는 점에서 수학의 무한 개념을 잘 보여주는 도형입니다. 실제로는 어느 정도 반복하면 멈추겠지만, 이론적으로는 무한히 작은 삼각형을 만들어낼 수 있죠. 이는 수학에서 무한대의 개념을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.

2) 자기유사성
시어핀스키 삼각형의 자기유사성은 프랙탈의 대표적인 성질이에요. 각 작은 삼각형도 전체 삼각형과 비슷한 모양을 가지고 있고, 그 삼각형 안에서도 다시 자기유사성을 발견할 수 있습니다. 이러한 자기유사성은 자연 현상 속에서도 많이 발견되며, 복잡한 구조를 단순한 규칙으로 설명할 수 있게 해줍니다.

3) 면적과 차원의 개념
시어핀스키 삼각형을 무한히 반복해서 만들면, 전체 면적은 0에 가까워집니다. 삼각형을 계속해서 비워내기 때문이에요. 하지만 여전히 도형의 경계는 남아 있어요. 이러한 특성은 시어핀스키 삼각형이 유리수와 실수의 개념, 특히 분수 차원(fractional dimension)을 이해하는 데 도움이 됩니다. 시어핀스키 삼각형은 2차원이 아닌 1.585 차원의 프랙탈 차원을 가지며, 이러한 개념을 통해 차원의 개념을 확장할 수 있어요.

 

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시어핀스키 삼각형과 차원

프랙탈 차원은 단순히 정수인 차원(예: 1차원, 2차원, 3차원)보다 더 복잡한 도형을 설명하기 위해 사용됩니다. 프랙탈 도형은 반복적이고 복잡한 구조를 가지고 있어서, 기존의 차원 개념으로는 완전히 설명하기 어려운 경우가 많죠. 이런 도형은 "차원 사이의 차원"이라고 불리는 소수 차원이나 분수 차원(fractional dimension)을 가집니다.

시어핀스키 삼각형은 2차원 평면 위에 있지만, 비워내는 과정이 무한히 반복되면서 차지하는 면적이 점점 줄어듭니다. 면적이 줄어들지만, 여전히 삼각형의 모양은 유지되고 무한히 많은 작은 삼각형들이 포함되어 있죠.

이 구조를 수학적으로 분석하면, 시어핀스키 삼각형은 선(1차원)보다는 복잡하지만, 완전한 면적(2차원)을 가지지 않는 중간 정도의 차원 복잡성을 가집니다.

시어핀스키 삼각형의 차원을 계산할 때는 자기복제 성질을 바탕으로 한 계산법을 사용합니다. 기본적으로 하우스도르프 차원 또는 박스 차원 같은 프랙탈 차원 공식이 사용되는데, 시어핀스키 삼각형은 큰 삼각형 하나가 3개의 작은 삼각형으로 나뉘는 구조를 계속 반복하죠. 이 과정에서 도형이 얼마나 복잡해지는지, 그리고 얼마나 많은 부분으로 나뉘는지를 계산하면 1.585이라는 차원이 나옵니다

시어핀스키 삼각형의 1.585 차원은, 이 도형이 1차원(선)과 2차원(평면)의 복잡성 사이에 있음을 보여줍니다. 이는 수학적으로 매우 흥미로운 개념인데, 차원이 소수라는 것은 도형이 무한히 반복되는 자기복제 구조를 가짐으로써 복잡성을 가지며, 그 복잡성이 1차원보다는 크고 2차원보다는 작은 상태에 있음을 의미해요.

이러한 프랙탈 차원 개념은 자연 속에서 볼 수 있는 복잡한 구조(구름, 해안선, 산의 윤곽 등)를 수학적으로 이해하는 데 도움을 주며, 우리가 1차원, 2차원, 3차원 이상의 차원을 확장해 이해하는 계기가 됩니다.

자기 유사 차원은 자기 복제되는 프랙탈 도형에서 주로 사용하는 차원 계산 방식인데,
다음과 같은 공식을 사용합니다

자기 유사 차원 계산 공식
D = log(N) / log(r)
D = 프랙탈 차원 (자기 유사 차원)
N = 복제된 도형의 개수 (각 반복 단계에서 생성되는 작은 자기 유사 도형의 수)
r = 각 도형의 축소 비율 (기존 도형에 비해 새 도형의 크기 비율)

시어핀스키 삼각형의 경우
복제된 도형의 개수 (N): 시어핀스키 삼각형에서는 삼각형이 한 단계 나눠질 때마다 3개의 작은 삼각형이 남게 됩니다. 즉, 입니다.
축소 비율 (r): 각 단계에서 시어핀스키 삼각형은 원래 삼각형의 한 변의 길이를 절반으로 줄인 작은 삼각형으로 구성됩니다. 따라서 축소 비율 r =2입니다.

따라서, D = log(3) / log(2) = 약 1.585
시어핀스키 삼각형의 자기 유사 차원, 즉 프랙탈 차원은 약 1.585입니다.

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시어핀스키 삼각형의 응용

시어핀스키 삼각형은 그 자체로 아름답고 흥미로운 도형이지만, 다양한 분야에서 유용하게 쓰입니다. 예를 들어, 네트워크 설계, 안테나 설계, 컴퓨터 그래픽, 예술 등에서 시어핀스키 삼각형의 패턴을 활용해요. 안테나의 경우, 시어핀스키 삼각형의 구조를 사용하면 넓은 주파수를 효율적으로 수신할 수 있어서, 무선 통신에서 유용하게 활용됩니다.

또한 컴퓨터 그래픽에서는 시어핀스키 삼각형을 포함한 다양한 프랙탈을 활용해 자연을 사실적으로 표현할 수 있습니다. 나무, 구름, 산의 모습 등을 프랙탈 알고리즘을 통해 만들어내며, 이러한 기법은 영화, 게임 등에서 리얼리티를 높이는 데 큰 도움을 줍니다.

 

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마무리하며

여러분도 직접 시어핀스키 삼각형을 만들어 볼 수 있어요! 종이와 자를 준비한 다음, 큰 삼각형을 그려서 가운데를 비우는 방식으로 반복해 보세요. 또한 컴퓨터 프로그래밍을 통해 시어핀스키 삼각형을 생성할 수도 있어요. 파이썬 같은 프로그래밍 언어를 활용하면, 간단한 코드로 무한히 작은 삼각형을 만들어낼 수 있습니다. 이는 여러분이 수학의 무한 개념을 이해하고, 자기유사성의 구조를 체험하는 좋은 경험이 될 거예요.

프랙탈과 시어핀스키 삼각형은 수학의 깊은 원리와 무한히 반복되는 아름다움을 보여줍니다. 이 글을 통해 프랙탈이 가진 수학적 의미를 이해하고, 자연 속에서 찾아볼 수 있는 패턴을 알아보는 기회가 되었기를 바랍니다. 이제 여러분도 다양한 프랙탈 도형을 찾아보고, 그 속에 숨겨진 수학의 신비를 탐구해 보세요!